Aller au contenu
Accueil » Continuité d’une fonction

Continuité d’une fonction

Exercice 1

La fonction suivante est-elle continue ?

$$ f(x) = \begin{align} \begin{cases}  3x + 1 & \text{si } x \leq 1 \\ -2x + 3 & \text{si } x > 1\end{cases} \end{align} $$

On calcule la limite droite:

$$ \lim_{x \rightarrow 1^+} f(x) = \lim_{x \rightarrow 1\\ x>1} f(x) = \lim_{x \rightarrow 1} -2x + 3 = – 2\times 1 + 3 = 1 $$

On calcule la limite gauche:

$$ \lim_{x \rightarrow 1^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow 1\\ x<1} f(x) = \lim_{x \rightarrow 1} 3x+1 = 3\times 1 + 1 = 4 $$

Comme la limite droite et la limite gauche ne sont pas égales la fonction n’est pas continue

Exercice 2

La fonction suivante est-elle continue ?

$$ f(x) = \begin{align} \begin{cases}  \dfrac{6x^2 + 1}{x – 3} & \text{si } x \neq 3 \\[0.2cm] 2 & \text{si } x = 3\end{cases} \end{align} $$

Pour accéder à ce corrigé devenez membre premium.

Pour un corrigé avec plus de détails devenez membre premium.

 

La fonction n’est pas continue car elle admet une branche infinie en x=3.

Exercice 3

La fonction suivante est-elle continue ?

$$ f(x) = \begin{align} \begin{cases}  4x^3 – 2x^2 + x & \text{si } x \leq \frac{1}{2} \\ x^4 + \frac{7}{2}x^3 & \text{si } x \geq \frac{1}{2} \end{cases} \end{align} $$

 

Pour accéder à ce corrigé devenez membre premium.

Pour un corrigé avec plus de détails devenez membre premium.

 

Comme la limite droite et la limite gauche sont égales la fonction est continue

Exercice 4

La fonction suivante est-elle continue ?

$$ f(x) = \begin{align} \begin{cases}  \dfrac{x^2 + x – 2}{x – 1} & \text{si } x \neq 1 \\[0.2cm] 2 & \text{si } x = 1\end{cases} \end{align} $$

Pour accéder à ce corrigé devenez membre premium.

Pour un corrigé avec plus de détails devenez membre premium.

 

Les limites droites et gauches sont égales la fonction est donc continue.