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Convexité et concavité

Fonctions d’une variable

Exercice 1

Déterminer les intervalles de convexité/concavité des fonctions suivantes:

$$ f(x) = x ^2 \qquad f(x) = x^3  \qquad f(x) = \sqrt{x} $$

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  •  Première fonction

Par conséquent f est convexe sur tout son intervalle de définition.

$$ D_f = ]- \infty, +\infty[ $$

 

  • Deuxième fonction

$$ f \text{ est convexe sur } [0,+\infty[ $$
$$ f \text{ est concave sur } ]-\infty,0] $$

 

  • Troisième fonction

Par conséquent f est concave sur tout son intervalle de définition.

$$ D_f = [0, +\infty[ $$

Exercice 2

Déterminer les intervalles de convexité/concavité des fonctions suivantes:

$$ f(x) = e^x \qquad f(x) = \ln(x) $$

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  • Première fonction

Par conséquent f est convexe sur tout son intervalle de définition.

$$ D_f = ]- \infty, +\infty[ $$

 

  • Deuxième fonction

Par conséquent f est concave sur tout son intervalle de définition.

$$ D_f = ]0, +\infty[  $$

Exercice 3

Déterminer les intervalles de convexité/concavité des fonctions suivantes:

$$ f(x) = 3x ^2 + 7x -1  \qquad f(x) = x^3 + 3x^2 – 2  \qquad f(x) = x^3 – x – 8 $$

 

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  • Première fonction

Par conséquent f est convexe sur tout son intervalle de définition.

$$ D_f = ]- \infty, +\infty[ $$

 

  • Deuxième fonction

$$ f \text{ est convexe sur } [-1,+\infty[ $$
$$ f \text{ est concave sur } ]-\infty,-1] $$

 

  • Troisième fonction

$$ f \text{ est convexe sur } [0,+\infty[ $$
$$ f \text{ est concave sur } ]-\infty,0] $$

Exercice 4

Déterminer les intervalles de convexité/concavité de le fonction suivante:

$$ f(x) = x ^2 e^x + 1  $$

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$$ f \text{ est convexe sur } ]-\infty,-2-\frac{\sqrt{8}}{2}[\cup]-2+\frac{\sqrt{8}}{2}, +\infty[ $$
$$ f \text{ est concave sur } [-2-\frac{\sqrt{8}}{2},-2+\frac{\sqrt{8}}{2}] $$

Exercice 5

Déterminer les intervalles de convexité/concavité de le fonction suivante:

$$ f(x) = 3x + \dfrac{1}{x} $$

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$$ f \text{ est convexe sur } ]0,+\infty[ $$
$$ f \text{ est concave sur } ]-\infty,0[ $$