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Calculs de dérivées

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Exercice 1

Calculer la dérivée des fonctions suivantes:

$$ f(x) = 7x^2 – 10x + 12 \qquad g(x) = 3x^3 + x^2 – 4x \qquad h(x) = 2x^5 – x^4 + 10x^3 + 3x + 20 $$

On utilise le fait que la dérivée d’une somme est la somme des dérivées, que l’on peut mettre devant les constantes multiplicatives, et que la dérivée d’une constante $K$ donne 0:

$$ [u + v]’ = u’ + v’ \qquad [Ku]’ = K\cdot u’ \qquad [K]’ = 0 $$

On rappelle également la formule de dérivée d’une puissance:

$$ [x^n]’ = nx^{n-1} $$

Ainsi

$$\begin{array}{lll} f'(x) = [7x^2 – 10x + 12]’ \qquad & g'(x) = [3x^3 + x^2 – 4x]’ \qquad & h'(x) = [2x^5 – x^4 + 10x^3 + 3x + 20]’ \\[0.1cm] = [7x^2]’ – [10x]’ + [12]’ \qquad  & = [3x^3]’  + [x^2]’ – [4x]’ \qquad & = [2x^5]’ – [x^4]’ + [10x^3]’ + [3x]’ + [20]’ \\[0.1cm] = 7 [x^2]’ – 10[x]’ + 0 \qquad & = 3 [x^3]’ + [x^2]’ – 4 [x]’ \qquad & = 2[x^5]’ – [x^4]’ + 10[x^3]’ + 3[x]’ + 0 \\[0.1cm] = 14x – 10 \qquad & = 9x^2 + 2x – 4 \qquad & = 10x^4 – 4x^3 + 30x^2 + 3\end{array} $$

 

Exercice 2

Calculer la dérivée des fonctions suivantes:

$$ f(x) = \sqrt{x} \qquad g(x) = \frac{1}{x} \qquad h(x) = e^x \qquad k(x) = \ln(x) $$

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Les dérivées de ces fonctions sont à connaître par coeur:

$$\begin{array}{llll} f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \qquad & g'(x) = – \dfrac{1}{x^2} \qquad & h'(x) = e^x \qquad & k'(x) = \dfrac{1}{x} \end{array}$$

Exercice 3

Calculer la dérivée des fonctions suivantes:

$$ f(x) = \ln(x^2 + 2x – 1) \qquad g(x) = \ln(1 + \sqrt{x}) \qquad h(x) = \ln(\frac{x^2 – 1}{x^2 + 1}) $$

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  • Première fonction

$$ f'(x) = \dfrac{2x+2}{x^2 + 2x -1}  $$

 

  • Deuxième fonction

$$ f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x} + 2x}  $$

 

  • Troisième fonction

$$ h'(x) =  \dfrac{4x}{(x^2 – 1)(x^2 + 1)} $$

Exercice 4

Calculer la dérivée des fonctions suivantes:

$$ f(x) = e^{x^3 – 2x} \qquad g(x) = e^{\sqrt{x}} \qquad h(x) = e^{\frac{1}{x} + x} $$

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  • Première fonction

$$f'(x) = (3x^2 – 2) e^{x^3 – 2x}$$

 

  • Deuxième fonction

$$ g'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} e^{\sqrt{x}} $$

 

  • Troisième fonction

$$ h'(x) = \big( -\dfrac{1}{x^2} + 1 \big)e^{\frac{1}{x} + x} $$

Exercice 5

Calculer la dérivée des fonctions suivantes:

$$ f(x) =\frac{x^4 + 3x}{x^2 – 1} \qquad g(x) =\frac{e^x}{\ln(2x)} \qquad h(x) =\frac{2\sqrt{x} + 1}{3x + 4} $$

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  •  Première fonction

$$ f'(x) = \dfrac{2x^5 – 4x^3 – 3x^2 -3}{4x^2} $$

 

  • Deuxième fonction

$$ g'(x) = \dfrac{xe^x \ln(2x) – e^x}{x\ln^2(2x)} $$

 

  • Troisième fonction

$$ h'(x) = \dfrac{-3x + 4 – 3 \sqrt{x}}{\sqrt{x} (3x+4)^2}$$

Exercice 6

Calculer la dérivée des fonctions suivantes:

$$ f(x) =xe^x \qquad g(x) = 3x + x^2 \ln(x) \qquad h(x) = e^x \ln(x) $$

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  • Première fonction

$$ f'(x) =  e^x + x e^x $$

 

  • Deuxième fonction

$$ g'(x) = 3 + 2x \ln(x) + x $$

 

  • Troisième fonction

$$ h'(x) = e^x \ln(x) + \dfrac{e^x}{x} $$