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Ensemble de définition: exp, log…

Exponentielle, logarithme, racine

Exercice 1

Déterminer l’ensemble de définition des fonctions suivantes:

$$ f(x) = e^x \qquad h(x) = \frac{1}{e^x} \qquad g(x) = \sqrt{1 + e^x}$$

Rappel des règles:

  • Ce qui est sous une division ne doit pas être nul
    $$ \dfrac{1}{\cdot} \quad \Longleftrightarrow \quad \cdot \neq 0 $$
  • Ce qui est dans une racine doit être positif ou nul
    $$ \sqrt{\cdot} \quad \Longleftrightarrow \quad \cdot \geq 0 $$

 

  • Première fonction

On cherche l’ensemble de définition de
$$ f(x) = e^x $$

D’après le cours
$$ D_f = ]-\infty, +\infty[ $$

 

  • Deuxième fonction

On cherche l’ensemble de définition de
$$ g(x) = \dfrac{1}{e^x} $$

On a ici une **division** par $x$. D’après la règle sur les divisions,
$$ e^x \neq 0 $$

Or on sait d’après le cours que l’exponentielle ne s’annule jamais
$$ e^x > 0 $$

On en déduit que
$$ D_g = ]-\infty, +\infty[ $$

 

  • Troisième fonction

On cherche l’ensemble de définition de
$$ h(x) = \sqrt{1+e^x} $$

On a ici une racine. D’après la règle sur les racines,
$$ 1+ e^x \geq 0 $$

Or on sait d’après le cours que,
$$ e^x > 0 $$

Donc que
$$ e^x + 1 > 1 $$

On en déduit que
$$ D_h = ]-\infty, +\infty[ $$

Exercice 2

Déterminer l’ensemble de définition des fonctions à une variable suivantes:

$$ f(x) = \ln(x) \qquad
g(x) = \ln(x+1) + e^x \qquad
h(x) = \frac{1}{\ln(x) + 1}$$

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  • Première fonction

$$ D_f = ]0, +\infty[ $$

 

  • Deuxième fonction

$$ D_g = ]-1, +\infty[ $$

 

  • Troisième fonction

$$ D_h = ]0, e^{-1}[\cup]e^{-1},+\infty[ $$

Exercice 3

Déterminer l’ensemble de définition des fonctions à une variable suivantes:

$$ f(x) = \frac{e^x}{x^2 + 2x + 1} \qquad
g(x) = e^{\sqrt{x}} \qquad
h(x) = x + \ln(x)$$

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  • Première fonction

$$ D_f = ]-\infty, -1 [\cup]-1, +\infty[ $$

 

  • Deuxième fonction

$$ D_g = [0, +\infty[ $$

 

  • Troisième fonction

$$ D_h = ]0,+\infty[ $$

Exercice 4

Déterminer l’ensemble de définition des fonctions à une variable suivantes:

$$ f(x) = \sqrt{\frac{e^x -1 }{e^x +1}} \qquad
g(x) = \sqrt{\frac{\ln(x)-1}{\ln(x) +1}}$$

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  • Première fonction

$$ D_f = [0,+\infty[$$

 

  • Deuxième fonction

$$ D_g = ]0,e^{-1}[\cup[e,+\infty $$

Exercice 5

Déterminer l’ensemble de définition des fonctions à une variable suivantes:

$$ f(x) = \ln(\ln(x)) \qquad
g(x) = \sqrt{\ln(x)} \qquad h(x) = \frac{1}{\ln(x)}$$

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  • Première fonction

$$ D_f = ]1, +\infty[ $$

 

  • Deuxième fonction

$$ D_g = ]1, +\infty[ $$

 

  • Troisième fonction

$$ D_h = ]0,1[\cup]1 +\infty[ $$