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Règle de l’Hospital

Exercice 1

Calculer la limite suivante en utilisant la règle de l’Hopital:

$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^x – 1}{2x} $$

On a bien un forme indéterminée:

$$\begin{array}{r} \lim_{x\rightarrow 0} e^x – 1 = e^0 – 1 = 1 -1 = 0\\[0.1cm] \lim_{x\rightarrow 0} 2x = 2\cdot 0 = 0 \end{array}\Big\} \rightarrow \dfrac{0}{0} $$

On identifie alors f et g:

$$ \begin{array}{ll} f(x) = e^x – 1 \qquad & g(x) = 2x \\ f'(x) = e^x \qquad & g'(x) = 2 \end{array} $$

D’après la règle de l’Hospital:

$$ \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{e^x – 1}{2x} = \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{f'(x)}{g'(x)} =\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{e^x}{2} = \dfrac{e^0}{2} = \dfrac{1}{2} $$

Exercice 2

Calculer la limite suivante en utilisant la règle de l’Hopital:

$$ \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{\ln(x^2 + 2)}{x} $$

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$$ \lim_{x\rightarrow +\infty} \dfrac{\ln(x^2 + 2)}{x} = 0 $$

Exercice 3

Calculer la limite suivante en utilisant la règle de l’Hopital:

$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\ln(x+1) \cdot\ln(1-x)}{e^x – 1} $$

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$$ \lim_{x\rightarrow 0} \dfrac{\ln(x+1)\ln(1-x)}{e^x – 1} = 0 $$

Exercice 4

Calculer la limite suivante en utilisant la règle de l’Hopital:

$$ \lim_{x \rightarrow +\infty} \big( 1 + \frac{1}{x} \big)^{x} $$

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$$ \lim_{x \rightarrow +\infty} \big( 1 + \dfrac{1}{x} \big)^x =  e $$

Exercice 5

Calculer la limite suivante en utilisant la règle de l’Hopital:

$$ \lim_{x \rightarrow +\infty} (1 + 5e^x)^{\frac{1}{x}} $$

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$$ \lim_{x \rightarrow +\infty} \big( 1 + \dfrac{1}{x} \big)^x = e $$