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Calculs d’intégrales

Calcul d’intégrales indéfinies et de primitives

Exercice 1

Calculer les intégrales définies suivantes:

$$ \int_{-3}^{-1} \frac{7}{10}x^2\ dx \qquad \int_{0}^{1} (2x + 3) \ dx \qquad \int_{-1}^{-\frac{1}{2}} \frac{-3}{x^3}\ dx$$

  • Première intégrale

$$ \int_{-3}^{-1} \dfrac{7}{10} x^2\ dx = \dfrac{7}{10} \int_{-3}^{-1} x^2\ dx = \dfrac{7}{10} \big[ \dfrac{x^3}{3} \big]_{-3}^{-1} = \dfrac{7}{10}\big( \dfrac{(-1)^3}{3} – \dfrac{(-3)^3}{3} \big) = \dfrac{91}{15} $$

 

  • Deuxième intégrale

$$ \begin{align} \int_{0}^{1} 2x + 3\ dx & = \int_{0}^{1} 2x\ dx + \int_{0}^{1} 3\ dx = 2\int_{0}^{1} x\ dx + 3\int_{0}^{1} 1\ dx \\ & = 2\big[ \dfrac{x^2}{2} \big]_{0}^{1} + 3\big[ x\big]_{0}^{1} = 2 \big( \dfrac{1^2}{2} – \dfrac{0^2}{2} \big) + 3 (1 – 0) = 1 + 3 = 4 \end{align} $$

 

  • Troisième intégrale

$$ \int_{-1}^{-\frac{1}{2}} \dfrac{-2}{x^3}\ dx = \big[ \dfrac{1}{x^2} \big]_{-1}^{-\frac{1}{2}} = \big( \dfrac{1}{(\frac{-1}{2})^2} – \dfrac{1}{(-1)^2} \big) = \big( \dfrac{1}{\frac{1}{4}} – 1 \big) = 4 – 1 = 3 $$

Exercice 2

Calculer les intégrales définies suivantes:

$$ \int_{1}^{2} \frac{2}{3}x^2 + 3x – 4\ dx \qquad \int_{-1}^{1} x^4 – 4x^3 + 2\ dx $$

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  • Première intégrale

$$ \int_1^2 \dfrac{2}{3} x^2 + 3x – 4\ dx = \dfrac{31}{6} $$

 

  • Deuxième intégrale

$$ \int_{-1}^1 x^4 – 4x^3 +2\ dx  = \dfrac{22}{5}  $$

Exercice 3

Calculer les intégrales définies suivantes:

$$ \int_{0}^{\ln2} e^{2x}\ dx \qquad \int_{e}^{e^2}\frac{1}{x}\ dx $$

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  • Première intégrale

$$ \int_{0}^{\ln(2)} e^{2x}\ dx = \dfrac{3}{2} $$

 

  • Deuxième intégrale

$$ \int_{e}^{e^2} \dfrac{1}{x}\ dx = 1 $$