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Limites de fonctions

Exercice 1

Calculer les limites suivantes:

$$ \lim_{x \rightarrow 0} e^x \qquad \lim_{x \rightarrow 1} 5x^5 – 3x^3 + x – 10  $$

  • Première limite

$$ \lim_{x \rightarrow 0} e^x = e^0 = 1 $$

 

  • Deuxième limite

$$ \lim_{x \rightarrow 1} 5x^5 – 3x^3 +x -10 = 5\cdot(1)^5 – 3\cdot (1)^3 + 1 -10 = 5 -3 +1 -10 = -7 $$

Exercice 2

Calculer les limites suivantes:

$$\lim_{x \rightarrow 4} \frac{-1}{x – 10} \qquad \lim_{x \rightarrow 0} \sqrt{\frac{x^2 + 2x – 3}{x^4 – 1}}$$

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  • Première limite

$$ \lim_{x \rightarrow 4} \dfrac{-1}{x-10} = \dfrac{-1}{4-10} = \dfrac{-1}{-6} = \dfrac{1}{6} $$

 

  • Deuxième limite

$$ \lim_{x \rightarrow 0} \sqrt{\dfrac{x^2 + 2x -3}{x^4 – 1}} = \sqrt{\dfrac{0^2 + 2\cdot 0 -3}{0^4 – 1}} = \sqrt{\dfrac{-3}{-1}} = \sqrt{3} $$

Exercice 3

Calculer les limites suivantes:

$$ \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{3x}{4x – 7} \qquad \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{x – 8}{\sqrt{x}}  $$

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  • Première limite

$$ \lim_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{3x}{4x – 7} = \dfrac{3}{4} $$

 

  • Deuxième limite

$$ \lim_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{x – 8}{\sqrt{x}} = +\infty $$

Exercice 4

Calculer les limites suivantes:

$$ \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{\sqrt{x} + 2 – 3x}{x} \qquad \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{-5x^2 + 2x – 3}{x^2 + 8x – 1} $$

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  • Première limite

$$ \lim_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{\sqrt{x} +2 – 3x}{x} =  – 3 $$

 

  • Deuxième limite

$$ \lim_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{-5x^2 + 2x – 3}{x^2 + 8x – 1}
= – 5
$$

Exercice 5

Calculer la limite suivante:

$$ \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{\ln(1 + e^{2x})}{x} \qquad \lim_{x \rightarrow +\infty} \sqrt{x^2 + x – 6} – x $$

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  • Première limite

$$ \lim_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{\ln(1 + e^{-2x})}{x} = 0 $$

 

  • Deuxième limite

$$ \lim_{x \rightarrow +\infty} \sqrt{x^2 + x – 6} -x = \dfrac{1}{2}$$