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Composée de fonctions

Fonctions d’une variables

Exercice 1

Calculer la composée des paires de fonctions suivantes:

$$ f(x) = x ^2 + 1 \qquad \text{et} \qquad g(x) = \sqrt{x} $$

$$ h(x) = x^2 \qquad \text{et} \qquad k(x) = \frac{1}{x+1} $$

  • Premier calcul

$$ (f\circ g)(x) = f\big[ g(x) \big] = f\big[ \sqrt{x} \big] = \big( \sqrt{x} \big)^2 + 1 = x +1 $$

  • Deuxième calcul

$$ (h\circ k)(x) = h\big[ k(x) \big] = h\big[ \dfrac{1}{x+1} \big] = \big( \dfrac{1}{x+1} \big)^2 = \dfrac{1}{(x+1)^2} $$

Exercice 2

Calculer la composée des paires de fonctions suivantes:

$$ f(x) = 5 – x^2 \qquad \text{et} \qquad g(x) = \frac{1}{x^2 – 1} $$

$$ h(x) = \sqrt{2x + 3} \qquad\text{et} \qquad  k(x) = x^2  + 2 $$

  • Premier calcul

$$ (f\circ g)(x) = f\big[ g(x) \big] = f\big[ \dfrac{1}{x^2 – 1} \big] = 5 – \big( \dfrac{1}{x^2 – 1} \big)^2 $$

  • Deuxième calcul

$$ (h\circ k)(x) = h\big[ k(x) \big] = h\big[ x^2 + 2 \big] = \sqrt{2(x^2 + 2) + 3} = \sqrt{2x^2 + 7} $$

Exercice 3

Calculer la composée des paires de fonctions suivantes:

$$ f(x) = x^3 \qquad \text{et} \qquad g(x) = x^2 $$

$$ h(x) = \frac{1}{x} \qquad \text{et} \qquad k(x) = \sqrt{3x – 5} $$

  • Premier calcul

$$ (f\circ g)(x) = f\big[ g(x) \big] = f\big[ x^3 \big] = \big(x^3 \big)^2 = x^6 $$

  • Deuxième calcul

$$ (h\circ k)(x) = h\big[ k(x) \big] = h\big[ \sqrt{3x – 5} \big] = \dfrac{1}{\sqrt{3x – 5}} $$

Exercice 4

Calculer la composée des paires de fonctions suivantes:

$$ f(x) = 3e^x \qquad \text{et} \qquad g(x) = \ln(x) $$

$$ h(x) = \frac{1}{e^x + 1} \qquad \text{et} \qquad k(x) = \ln(3x+ 2) $$

  • Premier calcul

$$ (f\circ g)(x) = f\big[ g(x) \big] = f\big[ \ln(x) \big] = 3e^{\ln(x)} = 3x $$

  • Deuxième calcul

$$ (h\circ k)(x) = h\big[ k(x) \big] = h\big[ \ln(3x+2) \big] = \dfrac{1}{e^{\ln(3x+2)} +1} = \dfrac{1}{3x+3} $$