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Continuité d’une fonction

Exercice 1

La fonction suivante est-elle continue ?

$$ f(x) = \begin{align} \begin{cases}  3x + 1 & \text{si } x \leq 1 \\ -2x + 3 & \text{si } x > 1\end{cases} \end{align} $$

On calcule la limite droite:

$$ \lim_{x \rightarrow 1^+} f(x) = \lim_{x \rightarrow 1\\ x>1} f(x) = \lim_{x \rightarrow 1} -2x + 3 = – 2\times 1 + 3 = 1 $$

On calcule la limite gauche:

$$ \lim_{x \rightarrow 1^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow 1\\ x<1} f(x) = \lim_{x \rightarrow 1} 3x+1 = 3\times 1 + 1 = 4 $$

Comme la limite droite et la limite gauche ne sont pas égales la fonction n’est pas continue

Exercice 2

La fonction suivante est-elle continue ?

$$ f(x) = \begin{align} \begin{cases}  \dfrac{6x^2 + 1}{x – 3} & \text{si } x \neq 3 \\[0.2cm] 2 & \text{si } x = 3\end{cases} \end{align} $$

On calcule la limite à droite:

$$ \lim_{x \rightarrow 3^+} f(x) = \lim_{x \rightarrow 3^+} \dfrac{6x^2 + 1}{x-3} = \lim_{x \rightarrow 3^+} 6x^2 + 1 \times \dfrac{1}{x-3} = +\infty $$

Car

$$ \lim_{x \rightarrow 3^+} 6x^2 + 1 = 6\cdot (3)^2 + 1 = 55 \qquad \lim_{x \rightarrow 3^+} \dfrac{1}{x-3} = +\infty $$

On calcule la limite à gauche:

$$ \lim_{x \rightarrow 3^+} f(x) = \lim_{x \rightarrow 3^+} \dfrac{6x^2 + 1}{x-3} = \lim_{x \rightarrow 3^+} 6x^2 + 1 \times \dfrac{1}{x-3} = -\infty $$

Car

$$ \lim_{x \rightarrow 3^-} 6x^2 + 1 = 6\cdot (3)^2 + 1 = 65 \qquad \lim_{x \rightarrow 3^-} \dfrac{1}{x-3} = -\infty $$

En conséquence la fonction n’est pas continue car elle admet une branche infinie en x=3.

Exercice 3

La fonction suivante est-elle continue ?

$$ f(x) = \begin{align} \begin{cases}  4x^3 – 2x^2 + x & \text{si } x \leq \frac{1}{2} \\ x^4 + \frac{7}{2}x^3 & \text{si } x \geq \frac{1}{2} \end{cases} \end{align} $$

On calcule la limite droite:

$$ \lim_{x \rightarrow \frac{1}{2}^+} f(x) = \lim_{x \rightarrow \frac{1}{2}\\ x>\frac{1}{2}} f(x) = \lim_{x \rightarrow \frac{1}{2}} x^4 + \dfrac{7}{2}x^3
= \big( \dfrac{1}{2} \big)^4 + \dfrac{7}{2} \big( \dfrac{1}{2} \big)^3 $$

On calcule la limite gauche:

$$ \lim_{x \rightarrow \frac{1}{2}^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow \frac{1}{2}\\ x<\frac{1}{2}} f(x) = \lim_{x \rightarrow \frac{1}{2}} 4x^3 – 2x^2 + x
= 4 \big( \dfrac{1}{2} \big)^3 – 2 \big( \dfrac{1}{2} \big)^2 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{4}{8} – \dfrac{2}{4} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2} – \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2} $$

Comme la limite droite et la limite gauche sont égales la fonction est continue

Exercice 4

La fonction suivante est-elle continue ?

$$ f(x) = \begin{align} \begin{cases}  \dfrac{x^2 + x – 2}{x – 1} & \text{si } x \neq 1 \\[0.2cm] 2 & \text{si } x = 1\end{cases} \end{align} $$

On remarque ici que 1 et -2 sont des racines évidentes du numérateur, on peut donc factoriser:

$$ x^2 + x – 2 = (x-1)(x-(-2)) = (x-1)(x+2) $$

On a donc la simplification suivante:

$$ \dfrac{x^2 + x – 2}{x-1} = \dfrac{(x-1)(x+2)}{x-1} = x+2 $$

On calcule la limite à droite:

$$ \lim_{x \rightarrow 1^+} f(x) = \lim_{x \rightarrow 1^+} x+2 = 1+2 = 3 = f(1)$$

On calcule la limite à gauche:

$$ \lim_{x \rightarrow 1^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow 1^-} x+2 = 1+2 = 3 = f(1)$$

Les limites sont égales la fonction est donc continue.