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Convexité et concavité

Fonctions d’une variable

Exercice 1

Déterminer les intervalles de convexité/concavité des fonctions suivantes:

$$ f(x) = x ^2 \qquad f(x) = x^3  \qquad f(x) = \sqrt{x} $$

On rappelle que:

$$ f \text{ est convexe} \quad \Longleftrightarrow \quad f^{\prime\prime}(x) \geq 0 $$
$$ f \text{ est concave} \quad \Longleftrightarrow \quad f ^{\prime\prime}(x) \leq 0 $$

 

  • Première fonction

On commence par déterminer l’ensemble de définition de la fonction:

$$ D_f = ]- \infty, +\infty[ $$

On calcule ensuite la dérivée seconde:

$$ f(x) = x^2 \longrightarrow f'(x) = 2x \longrightarrow f^{\prime\prime}(x) = 2 $$

Puis on étudie son signe:

$$ f^{\prime\prime}(x) = 2 \geq 0 $$

Par conséquent f est convexe sur tout son intervalle de définition.

 

  • Deuxième fonction

On commence par déterminer l’ensemble de définition de la fonction:

$$ D_f = ]- \infty, +\infty[ $$

On calcule ensuite la dérivée seconde:

$$ f(x) = x^3 \longrightarrow f'(x) = 3x^2 \longrightarrow f^{\prime\prime}(x) = 6x $$

Puis on étudie son signe:

$$ f^{\prime\prime}(x) \geq 0 \quad \Longleftrightarrow \quad 6x \geq 0 \quad \Longleftrightarrow \quad x \geq 0 $$
$$ f^{\prime\prime}(x) \leq 0 \quad \Longleftrightarrow \quad 6x \leq 0 \quad \Longleftrightarrow \quad x \leq 0 $$

On obtient le tableau de signe suivant:

 

Par conséquent:

$$ f \text{ est convexe sur } [0,+\infty[ $$
$$ f \text{ est concave sur } ]-\infty,0] $$

 

  • Troisième fonction

On commence par déterminer l’ensemble de définition de la fonction:

$$ D_f = [0, +\infty[ $$

On calcule ensuite la dérivée seconde:

$$ f(x) = \sqrt{x} \longrightarrow f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \longrightarrow f^{\prime\prime}(x) = \dfrac{1}{2}\cdot \big(-\dfrac{\frac{1}{2\sqrt{x}}}{(\sqrt{x})^2}\big) = – \dfrac{1}{4x\sqrt{x}} $$

Puis on étudie son signe:

$$ f^{\prime\prime}(x) \leq 0 \quad \text{car } x \geq 0 \quad \sqrt{x} \geq 0 $$

Par conséquent f est concave sur tout son intervalle de définition.

 

Exercice 2

Déterminer les intervalles de convexité/concavité des fonctions suivantes:

$$ f(x) = e^x \qquad f(x) = \ln(x) $$

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On rappelle que:

$$ f \text{ est convexe} \quad \Longleftrightarrow \quad f^{\prime\prime}(x) \geq 0 $$
$$ f \text{ est concave} \quad \Longleftrightarrow \quad f^{\prime\prime}(x) \leq 0 $$

 

  • Première fonction

On commence par déterminer l’ensemble de définition de la fonction:

$$ D_f = ]- \infty, +\infty[ \quad \text{ d’après le cours sur la fonction exponentielle}$$

On calcule ensuite la dérivée seconde:

$$ f(x) = e^x \longrightarrow f'(x) = e^x \longrightarrow f^{\prime\prime}(x) = e^x $$

Puis on étudie son signe:

$$ f’^{\prime\prime}(x) = e^x > 0 \quad \text{ d’après le cours} $$

Par conséquent f est convexe sur tout son intervalle de définition.

 

  • Deuxième fonction

On commence par déterminer l’ensemble de définition de la fonction:

$$ D_f = ]0, +\infty[ \quad \text{ d’après le cours sur la fonction } \ln $$

On calcule ensuite la dérivée seconde:

$$ f(x) = \ln(x) \longrightarrow f'(x) = \dfrac{1}{x} \longrightarrow f^{\prime\prime}(x) = – \dfrac{1}{x^2}$$

Puis on étudie son signe:

$$ f^{\prime\prime}(x) = – \dfrac{1}{x^2} \leq 0 \quad \text{car } x^2 \geq 0 $$

Par conséquent f est concave sur tout son intervalle de définition.

Exercice 3

Déterminer les intervalles de convexité/concavité des fonctions suivantes:

$$ f(x) = 3x ^2 + 7x -1  \qquad f(x) = x^3 + 3x^2 – 2  \qquad f(x) = x^3 – x – 8 $$

On rappelle que:

$$ f \text{ est convexe} \quad \Longleftrightarrow \quad f^{\prime\prime}(x) \geq 0 $$
$$ f \text{ est concave} \quad \Longleftrightarrow \quad f^{\prime\prime}(x) \leq 0 $$

 

  • Première fonction

On commence par déterminer l’ensemble de définition de la fonction:

$$ D_f = ]- \infty, +\infty[ \quad \text{ car c’est un polynôme du second degré} $$

On calcule ensuite la dérivée seconde:

$$ f(x) = 3x^2 + 7x – 1 \longrightarrow f'(x) = 6x + 7 \longrightarrow f^{\prime\prime}(x) = 6 $$

Puis on étudie son signe:

$$ f^{\prime\prime}(x) = 6 > 0 $$

Par conséquent f est convexe sur tout son intervalle de définition.

 

  • Deuxième fonction

On commence par déterminer l’ensemble de définition de la fonction:

$$ D_f = ]- \infty, +\infty[ \quad \text{ car c’est un polynôme du troisième degré} $$

On calcule ensuite la dérivée seconde:

$$ f(x) = x^3 + 3x^2 – 2 \longrightarrow f'(x) = 3x^2 + 6x \longrightarrow f”(x) = 6x + 6 $$

Puis on étudie son signe:

$$ f^{\prime\prime}(x) \geq 0 \quad \Longleftrightarrow \quad 6x + 6 \geq 0 \quad \Longleftrightarrow \quad 6x \geq -6 \quad \Longleftrightarrow \quad x \geq -1 $$
$$ f^{\prime\prime}(x) \leq 0 \quad \Longleftrightarrow \quad 6x + 6 \leq 0 \quad \Longleftrightarrow \quad 6x \leq -6 \quad \Longleftrightarrow \quad x \leq -1 $$

On obtient le tableau de signe suivant

Par conséquent:

$$ f \text{ est convexe sur } [-1,+\infty[ $$
$$ f \text{ est concave sur } ]-\infty,-1] $$

 

  • Troisième fonction

On commence par déterminer l’ensemble de définition de la fonction:

$$ D_f = ]- \infty, +\infty[ \quad \text{ car c’est un polynôme du troisième degré} $$

On calcule ensuite la dérivée seconde:

$$ f(x) = x^3 -x – 8 \longrightarrow f'(x) = 3x^2 – 1 \longrightarrow f^{\prime\prime}(x) = 6x $$

Puis on étudie son signe:

$$ f^{\prime\prime}(x) \geq 0 \quad \Longleftrightarrow \quad 6x \geq 0 \quad \Longleftrightarrow \quad x \geq 0 $$
$$ f^{\prime\prime}(x) \leq 0 \quad \Longleftrightarrow \quad 6x \leq 0 \quad \Longleftrightarrow \quad x \leq 0 $$

On obtient le tableau de signe suivant

Par conséquent:

$$ f \text{ est convexe sur } [0,+\infty[ $$
$$ f \text{ est concave sur } ]-\infty,0] $$

Exercice 4

Déterminer les intervalles de convexité/concavité de le fonction suivante:

$$ f(x) = x ^2 e^x + 1  $$

On commence par déterminer l’ensemble de définition de la fonction:

$$ D_f = ]- \infty, +\infty[ \quad \text{ car il n’y aucun soucis de division, de ln ou racine} $$

On calcule ensuite la dérivée seconde (on utilise la règle du produit):

$$ f(x) = x^2 e^x + 1 \longrightarrow f'(x) = 2x e^x + x^2 e^x \longrightarrow f”(x) = 2xex^x + 2e^x + 2xe^x + x^2 e^x $$

Pour étudier le signe il est nécessaire de factoriser cette expression:

$$ f”(x) = e^x (2x + 2 + 2x + x^2) = e^x(x^2 + 4x + 2) $$

Or on sait que

$$ e^x > 0 $$

Donc le signe dépend uniquement de
$$ x^2 + 4x + 2 $$

On calcule les racines du polynôme pour étudier son signe. On obtient le tableau suivant:

Ainsi

$$ f \text{ est convexe sur } ]-\infty,-2-\frac{\sqrt{8}}{2}[\cup]-2+\frac{\sqrt{8}}{2}, +\infty[ $$
$$ f \text{ est concave sur } [-2-\frac{\sqrt{8}}{2},-2+\frac{\sqrt{8}}{2}] $$

Exercice 5

Déterminer les intervalles de convexité/concavité de le fonction suivante:

$$ f(x) = 3x + \dfrac{1}{x} $$

On commence par déterminer l’ensemble de définition de la fonction:

$$ D_f = ]- \infty, 0[\cup[0, +\infty] \quad \text{ car on ne peut diviser par } 0 $$

On calcule ensuite la dérivée seconde:

$$ f(x) = 3x + \dfrac{1}{x} \longrightarrow f'(x) = 3 – \dfrac{1}{x^2} \longrightarrow f”(x) = f”(x) = \dfrac{2}{x^3} $$

Ainsi la dérivée seconde est du signe de
$$ x^3 $$

Or

$$ x^3 \geq 0 \quad \Longleftrightarrow \quad x \geq 0 $$
$$ x^3 \leq 0 \quad \Longleftrightarrow \quad x \leq 0 $$

On a donc le tableau de signe suivant pour la dérivée seconde:

Attention: mettre une double barre sur 0 car c’est une valeur interdite ici.

Ainsi:

$$ f \text{ est convexe sur } ]0,+\infty[ $$
$$ f \text{ est concave sur } ]-\infty,0[ $$