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Calculs de dérivées

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Exercice 1

Calculer la dérivée des fonctions suivantes:

$$ f(x) = 7x^2 – 10x + 12 \qquad g(x) = 3x^3 + x^2 – 4x \qquad h(x) = 2x^5 – x^4 + 10x^3 + 3x + 20 $$

On utilise le fait que la dérivée d’une somme est la somme des dérivées, que l’on peut mettre devant les constantes multiplicatives, et que la dérivée d’une constante $K$ donne 0:

$$ [u + v]’ = u’ + v’ \qquad [Ku]’ = K\cdot u’ \qquad [K]’ = 0 $$

On rappelle également la formule de dérivée d’une puissance:

$$ [x^n]’ = nx^{n-1} $$

Ainsi

$$\begin{array}{lll} f'(x) = [7x^2 – 10x + 12]’ \qquad & g'(x) = [3x^3 + x^2 – 4x]’ \qquad & h'(x) = [2x^5 – x^4 + 10x^3 + 3x + 20]’ \\[0.1cm] = [7x^2]’ – [10x]’ + [12]’ \qquad  & = [3x^3]’  + [x^2]’ – [4x]’ \qquad & = [2x^5]’ – [x^4]’ + [10x^3]’ + [3x]’ + [20]’ \\[0.1cm] = 7 [x^2]’ – 10[x]’ + 0 \qquad & = 3 [x^3]’ + [x^2]’ – 4 [x]’ \qquad & = 2[x^5]’ – [x^4]’ + 10[x^3]’ + 3[x]’ + 0 \\[0.1cm] = 14x – 10 \qquad & = 9x^2 + 2x – 4 \qquad & = 10x^4 – 4x^3 + 30x^2 + 3\end{array} $$

 

Exercice 2

Calculer la dérivée des fonctions suivantes:

$$ f(x) = \sqrt{x} \qquad g(x) = \frac{1}{x} \qquad h(x) = e^x \qquad k(x) = \ln(x) $$

Les dérivées de ces fonctions sont à connaître par coeur:

$$\begin{array}{llll} f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \qquad & g'(x) = – \dfrac{1}{x^2} \qquad & h'(x) = e^x \qquad & k'(x) = \dfrac{1}{x} \end{array}$$

Exercice 3

Calculer la dérivée des fonctions suivantes:

$$ f(x) = \ln(x^2 + 2x – 1) \qquad g(x) = \ln(1 + \sqrt{x}) \qquad h(x) = \ln(\frac{x^2 – 1}{x^2 + 1}) $$

Dans tout cet exercice on utilise la formule:

$$ [\ln(u(x))]’ = \frac{u'(x)}{u(x)} $$

 

  • Première fonction

On identifie $u$ et on calcule sa dérivée:

$$ u = x^2 + 2x – 1 \qquad u’ = 2x +2 $$

On applique la formule, ce qui donne

$$ f'(x) = \dfrac{2x+2}{x^2 + 2x -1} =  $$

  • Deuxième fonction

On identifie $u$ et on calcule sa dérivée:

$$ u = 1 + \sqrt{x} \qquad u’ = \frac{1}{2\sqrt{x}} $$

On applique la formule ce qui donne

$$f'(x) = \dfrac{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}}{1 + \sqrt{x}} $$

On finit par simplifier:

$$ f'(x) = \dfrac{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}}{1 + \sqrt{x}} = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \dfrac{1}{1 + \sqrt{x}} = \dfrac{1}{2\sqrt{x} + 2x}  $$

 

  • Troisième fonction

Comme on ne peut pas directement identifier $u$ et $u’$, on utilise d’abord la formule:

$$ \ln\big(\frac{a}{b}\big) = \ln(a) – \ln(b) $$

Ainsi

$$ h(x) = \ln(x^2-1) – \ln(x^2 + 1) $$

On doit ici appliquer deux fois la formule donc on identifie deux fois $u$ et on calcul deux dérivées:

$$\begin{array}{ll} u = x^2 – 1 \qquad & u = x^2 +1 \\ u’ = 2x \qquad & u’ = 2x \\ \end{array}$$

On applique la formule ce qui donne

$$ h'(x) = \dfrac{2x}{x^2 – 1} – \dfrac{2x}{x^2 + 1}$$

On finit par simplifier:

$$ h'(x) = \dfrac{2x}{x^2 – 1} – \dfrac{2x}{x^2 + 1} = 2x \big(\dfrac{1}{x^2 – 1} – \dfrac{1}{x^2 + 1}\big) = 2x \big( \dfrac{x^2 + 1 – (x^2 – 1)}{(x^2 – 1)(x^2 + 1)} = 2x \dfrac{2}{(x^2 – 1)(x^2 + 1)} = \dfrac{4x}{(x^2 – 1)(x^2 + 1)} $$

Exercice 4

Calculer la dérivée des fonctions suivantes:

$$ f(x) = e^{x^3 – 2x} \qquad g(x) = e^{\sqrt{x}} \qquad h(x) = e^{\frac{1}{x} + x} $$

Dans tout cet exercice on utilise la formule de dérivation de l’exponentielle:

$$ [e^{u(x)}]’ = u'(x) e^{u(x)} $$

Pour chacune des fonctions proposées on identifie la fonction u:

$$\begin{array}{lll} u = x^3 – 2x \qquad & u = \sqrt{x} \qquad & u = \dfrac{1}{x} + x \\[0.1cm] u’ = 3x^2 -2 \qquad & u’ = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \qquad & u’ = -\dfrac{1}{x^2} + 1 \\[0.1cm] \end{array}$$

Ainsi

$$\begin{array}{lll} f'(x) = (3x^2 – 2) e^{x^3 – 2x} \qquad & g'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} e^{\sqrt{x}} \qquad & h'(x) = \big( -\dfrac{1}{x^2} + 1 \big)e^{\frac{1}{x} + x} \end{array}$$

Exercice 5

Calculer la dérivée des fonctions suivantes:

$$ f(x) =\frac{x^4 + 3x}{x^2 – 1} \qquad g(x) =\frac{e^x}{\ln(2x)} \qquad h(x) =\frac{2\sqrt{x} + 1}{3x + 4} $$

Dans tout cet exercice on utilise la formule de dérivation d’un quotient:

$$ \big[ \dfrac{u}{v}\big]’ = \dfrac{u’v – uv’}{v^2} $$

Pour chacune des fonctions proposées on identifie le u et le v:

$$\begin{array}{lll} u = x^4 + 3x & v = x^2 – 1 \qquad & u = e^{x} & v = \ln(2x) \qquad & u = 2\sqrt{x} + 1 & v = 3x+ 4 \\[0.1cm] u’ = 4x^3 + 3 & v’ = 2x \qquad & u’ = e^{x} & v’ = \dfrac{2}{2x} = \dfrac{1}{x} \qquad & u’ = \dfrac{1}{\sqrt{x}} & v = 3 \\[0.1cm] \end{array}$$

 

  • Première fonction

$$ f'(x) = \dfrac{ (4x^3 + 3)(x^2 – 1) – 2x (x^4 + 3x) }{ (2x)^2 } $$

On développe et on réduit en faisant attention aux puissances:

$$ f'(x) = \dfrac{2x^5 – 4x^3 – 3x^2 -3}{4x^2} $$

 

  • Deuxième fonction

$$g'(x) = \dfrac{e^x \ln(2x) – \frac{e^x}{x}}{\ln^2(2x)}$$

On met au même dénominateur la partie haute de la fraction:

$$ g'(x) = \dfrac{\frac{xe^x \ln(2x)}{x} – \frac{e^x}{x}}{\ln^2(2x)} = \dfrac{xe^x \ln(2x) – e^x}{x\ln^2(2x)} $$

 

  • Troisième fonction

$$ h'(x) = \dfrac{\frac{3x+4}{\sqrt{x}} – 3(2\sqrt{x} + 1)}{(3x+4)^2} $$

On met au même dénominateur la partie haute de la fraction, puis on simplifie:

$$ h'(x) = \dfrac{\frac{3x+4}{\sqrt{x}} – \frac{3\sqrt{x}(2\sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x}}}{(3x+4)^2} = \dfrac{3x + 4 – 3\sqrt{x}(2\sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x} (3x+4)^2} $$

On développe et on réduit:
$$ h'(x) = \dfrac{-3x + 4 – 3 \sqrt{x}}{\sqrt{x} (3x+4)^2}$$

Exercice 6

Calculer la dérivée des fonctions suivantes:

$$ f(x) =xe^x \qquad g(x) = 3x + x^2 \ln(x) \qquad h(x) = e^x \ln(x) $$

Dans tout cet exercice on utilise la formule de dérivation d’un produit:

$$ [uv]’ = u’ v + v’u  $$

Pour chacune des fonctions proposées on identifie le u et le v:

$$\begin{array}{lll} u = x & v = e^x \qquad & u = x^2 & v = \ln(x) \qquad & u = e^x & v = \ln(x) \\[0.1cm] u’ = 1 & v’ = e^x \qquad & u’ = 2x & v’ = \dfrac{1}{x} \qquad & u’ = e^x & v’= \dfrac{1}{x} \\  \end{array}$$

Ainsi

$$ \begin{array}{lll} f'(x) = [xe^x]’ \qquad & g'(x) = [3x + x^2 \ln(x)]’ \qquad & h'(x) = [e^x \ln(x)]’ \\[0.1cm] = [x]’ e^x + x[e^x]’ \qquad & = [3x]’ + [x^2\ln(x)]’ \qquad & = [e^x]’ \ln(x) + e^x[\ln(x)]’\\[0.1cm] = e^x + x e^x \qquad & = 3[x]’ + [x^2]’\ln(x) + x^2[\ln(x)]’ \qquad & = e^x \ln(x) + \dfrac{e^x}{x} \\[0.1cm] \qquad & = 3 + 2x \ln(x) + \dfrac{x^2}{x} \qquad & \\[0.1cm] \qquad & = 3 + 2x \ln(x) + x & \end{array} $$