Aller au contenu
Accueil » Ensemble de définition: basique

Ensemble de définition: basique

Fonctions d’une variable

Exercice 1

Déterminer l’ensemble de définition des fonctions à une variable suivantes:

$$ f(x) = x^2 \qquad
f(x) = \sqrt{x}\qquad
f(x) = \frac{1}{x} \qquad f(x) = 4x^2 + 10x – 1 \qquad  f(x) = 2x + 1$$

cas 1

D’après le cours:

$$ D_f = ]-\infty, + \infty[ $$

cas 2

D’après le cours:

$$ D_f = [0, + \infty[ $$

cas 3

D’après le cours:

$$ D_f =]-\infty, 0[\cup]0, + \infty[ $$

cas 4

C’est un polynôme du second degré, il n’y a donc aucun problème (ni racine, ni division par 0):

$$ D_f = ]-\infty + \infty[ $$

cas 5

C’est une fonction affine, il n’y a aucun problème (ni racine, ni division par 0):

$$ D_f = ]-\infty + \infty[ $$

 

 

Exercice 2

Déterminer l’ensemble de définition des fonctions à une variable suivantes:

$$ f(x) = 1 + \frac{2}{x} \qquad
g(x) = \sqrt{3x-2}\qquad
h(x) = 4x + \frac{7}{x-2}$$

Rappel des règles :

  • Ce qui est sous une division ne doit pas être nul
    $$ \dfrac{1}{\cdot} \quad \Longleftrightarrow \quad \cdot \neq 0 $$
  • Ce qui est dans une racine doit être positif ou nul
    $$ \sqrt{\cdot} \quad \Longleftrightarrow \quad \cdot \geq 0 $$

 

  • Première fonction

On cherche l’ensemble de définition de
$$ f(x) = 1 + \dfrac{2}{x} $$

On a ici une division par $x$. D’après la règle sur les divisions,
$$ x \neq 0 $$

On en déduit que
$$ D_f = ]-\infty,0[\cup]0,+\infty[ $$

 

  • Deuxième fonction

On cherche l’ensemble de définition de
$$ g(x) = \sqrt{3x – 2} $$

On a ici une racine. D’après la règle sur les racines,
$$ 3x – 2 \geq 0 $$

On résout l’inéquation pour trouver une condition sur $x$
$$ 3x – 2 \geq 0 \quad \Longleftrightarrow \quad 3x \geq 2 \quad \Longleftrightarrow \quad x \geq \dfrac{2}{3} $$

On en déduit que
$$ D_f = [\dfrac{2}{3},+\infty[ $$

 

  • Troisième fonction

On cherche l’ensemble de définition de
$$ h(x) = 4x + \dfrac{4}{x-2} $$

On a ici une division par $x-2$. D’après la règle sur les divisions,
$$ x-2 \neq 0 $$

Ce qui donne la condition sur $x$,
$$ x \neq 2 $$

On en déduit que
$$ D_f = ]-\infty,2[\cup]2,+\infty[ $$

Exercice 3

Déterminer l’ensemble de définition des fonctions à une variable suivantes:

$$ f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} \qquad
g(x) = \sqrt{x^2 + 2x -1} \qquad
h(x) = \frac{1}{4x – 1}$$

Rappel des règles :

  • Ce qui est sous une division ne doit pas être nul
    $$ \dfrac{1}{\cdot} \quad \Longleftrightarrow \quad \cdot \neq 0 $$
  • Ce qui est dans une racine doit être positif ou nul
    $$ \sqrt{\cdot} \quad \Longleftrightarrow \quad \cdot \geq 0 $$

 

  • Première fonction

On cherche l’ensemble de définition de
$$ f(x) = \dfrac{2}{\sqrt{x}} $$

On a ici une division par une racine. D’après la règle sur les racines,
$$ \textbf{(condition 1)} \quad x \geq 0 $$

Et d’après la règle sur les divisions,
$$ \sqrt{x} \neq 0 $$

Or une racine est nulle si et seulement si $x = 0$, ce qui donne
$$ \textbf{(condition 2)} \quad x \neq 0 $$

En combinant les 2 conditions on obtient que
$$ D_f = ]0,+\infty[ $$

 

  • Deuxième fonction

On cherche l’ensemble de définition de
$$ g(x) = \sqrt{x^2 +2x – 1} $$

Ce qui est dans la racine doit être positif, on étudie donc le signe du polynôme:

$$ x^2 + 2x – 1 $$

On calcule les racines, et on obtient le tableau de signes :

Ainsi l’ensemble de définition est:

$$ D_g = ]-\infty, -1 – \frac{\sqrt{8}}{2}]\cup[ -1 + \frac{\sqrt{8}}{2}, + \infty[ $$

 

  • Troisième fonction

On cherche l’ensemble de définition de
$$ h(x) = \dfrac{1}{4x-1} $$

On a ici une division par $4x-1$, d’après la règle sur les divisions,
$$ 4x-1 \neq 0 $$

On en déduit une condition sur $x$ en isolant $x$,
$$ 4x-1 \neq 0 \quad \Longleftrightarrow \quad 4x \neq 1 \quad \Longleftrightarrow \quad x \neq \dfrac{1}{4} $$

Finalement on obtient que
$$ D_f = ]-\infty,\frac{1}{4}[\cup]\frac{1}{4},+\infty[ $$

Exercice 4

Déterminer l’ensemble de définition des fonctions à une variable suivantes:

$$ f(x) = \frac{\sqrt{3+x} – 49}{x} \qquad
f(x) = \frac{1}{\sqrt{x+5} + x -1}$$

Rappel des règles :

  • Ce qui est sous une division ne doit pas être nul
    $$ \dfrac{1}{\cdot} \quad \Longleftrightarrow \quad \cdot \neq 0 $$
  • Ce qui est dans une racine doit être positif ou nul
    $$ \sqrt{\cdot} \quad \Longleftrightarrow \quad \cdot \geq 0 $$

 

  • Première fonction

On cherche l’ensemble de définition de
$$ f(x) = \dfrac{\sqrt{x+3} – 49}{x} $$

On ici une division et une racine. D’après la règle sur les divisions,
$$ \textbf{(condition 1)} \quad x \neq 0 $$

D’après la règle sur les racines
$$ 3+x \geq 0 $$

On résout l’inéquation pour trouver une condition sur $x$,
$$ 3+x \geq 0 \quad \Longleftrightarrow \quad x \geq – 3$$

Ce qui nous donne la condition
$$ \textbf{(condition 2)} \quad x \geq -3 $$

En combinant les 2 conditions on obtient que
$$ D_f = [-3,0[\cup]0,+\infty] $$

 

  • Deuxième fonction

On cherche l’ensemble de définition de
$$ g(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x+5} +x – 1} $$

D’après la règle sur les racines
$$ x+5 \geq 0 $$

On résout l’inéquation pour trouver une condition sur $x$
$$ x+5 \geq 0 \quad \Longleftrightarrow \quad x \geq -5 $$

Ce qui nous donne la condition
$$ \textbf{(condition 1)} \quad x \geq -5 $$

D’autre part, d’après le critère sur les divisions,
$$ \sqrt{x+5} + x – 1 \neq 0 $$

On cherche donc les solutions des cette équation. Pour ce faire, on isole la racine:
$$ \sqrt{x+5} = 1-x $$

On passe au carré:
$$ x+5 = (1-x)^2 = x^2 – 2x + 1 $$

On passe tout du même côté:
$$ x^2 – 3x – 4 = 0 $$

On calcule les racines avec le discriminant, et on obtient:
$$ x_1 = -1 \qquad x_2 = 4 $$

On vérifie que ces solution annulent l’équation de départ:
$$ x=-1 \qquad \sqrt{-1 + 5 } + (-1) – 1 = \sqrt{4} – 2 = 2 – 2 = 0 $$
$$ x=4 \qquad \sqrt{4 + 5 } + 4 – 1 = \sqrt{9} + 3 = 3 + 3 = 6 $$

  • La première racine est bien une valeur interdite de la division.
  • La deuxième racine n’est pas une valeur interdite puisqu’elle n’annule pas le dénominateur.

On obtient une deuxième condition
$$ \textbf{(condition 2)} \quad x \neq -1 $$

En combinant les 2 conditions, on trouve donc l’ensemble de définition:

$$ D_f = [-5, -1[\cup]-1, +\infty[ $$