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Ensemble de définition: exp, log…

Exponentielle, logarithme, racine

Exercice 1

Déterminer l’ensemble de définition des fonctions suivantes:

$$ f(x) = e^x \qquad h(x) = \frac{1}{e^x} \qquad g(x) = \sqrt{1 + e^x}$$

Rappel des règles:

  • Ce qui est sous une division ne doit pas être nul
    $$ \dfrac{1}{\cdot} \quad \Longleftrightarrow \quad \cdot \neq 0 $$
  • Ce qui est dans une racine doit être positif ou nul
    $$ \sqrt{\cdot} \quad \Longleftrightarrow \quad \cdot \geq 0 $$

 

  • Première fonction

On cherche l’ensemble de définition de
$$ f(x) = e^x $$

D’après le cours
$$ D_f = ]-\infty, +\infty[ $$

 

  • Deuxième fonction

On cherche l’ensemble de définition de
$$ g(x) = \dfrac{1}{e^x} $$

On a ici une **division** par $x$. D’après la règle sur les divisions,
$$ e^x \neq 0 $$

Or on sait d’après le cours que l’exponentielle ne s’annule jamais
$$ e^x > 0 $$

On en déduit que
$$ D_g = ]-\infty, +\infty[ $$

 

  • Troisième fonction

On cherche l’ensemble de définition de
$$ h(x) = \sqrt{1+e^x} $$

On a ici une racine. D’après la règle sur les racines,
$$ 1+ e^x \geq 0 $$

Or on sait d’après le cours que,
$$ e^x > 0 $$

Donc que
$$ e^x + 1 > 1 $$

On en déduit que
$$ D_h = ]-\infty, +\infty[ $$

Exercice 2

Déterminer l’ensemble de définition des fonctions à une variable suivantes:

$$ f(x) = \ln(x) \qquad
g(x) = \ln(x+1) + e^x \qquad
h(x) = \frac{1}{\ln(x) + 1}$$

Rappel des règles:

  • Ce qui est sous une division ne doit pas être nul
    $$ \dfrac{1}{\cdot} \quad \Longleftrightarrow \quad \cdot \neq 0 $$
  • Ce qui est dans une racine doit être positif ou nul
    $$ \sqrt{\cdot} \quad \Longleftrightarrow \quad \cdot \geq 0 $$
  • Ce qui est dans un logarithme doit être strictement positif
    $$ \ln{\cdot} \quad \Longleftrightarrow \quad \cdot > 0 $$

 

  • Première fonction

On cherche l’ensemble de définition de
$$ f(x) = \ln(x) $$

D’après le cours
$$ D_f = ]0, +\infty[ $$

 

  • Deuxième fonction

On cherche l’ensemble de définition de
$$ g(x) = \ln(1+x) + e^x $$

On a ici un logarithme. D’après la règle sur les logarithmes,
$$ 1+x > 0 $$

On résout l’inéquation pour trouver une condition sur $x$
$$ 1 + x > 0 \quad \Longleftrightarrow \quad x > -1 $$

On en déduit que
$$ D_g = ]-1, +\infty[ $$

 

  • Troisième fonction

On cherche l’ensemble de définition de
$$ h(x) = \dfrac{1}{\ln(x) +1} $$

On a ici une une division et un logarithme. La règle sur les logarithmes, nous donne la première condition
$$ \textbf{(condition 1)} \quad x > 0 $$

D’après la règle sur les divisions
$$ 1 + \ln(x) \neq 0 $$

On résout l’équation pour trouver une condition sur $x$
$$ 1 + \ln(x) \neq 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \ln(x) \neq -1 \quad \Longleftrightarrow \quad x \neq e^{-1} $$

Ce qui nous donne la condition
$$ \textbf{(condition 2)} \quad x \neq e^{-1} $$

En combinant les 2 conditions, on en déduit que
$$ D_h = ]0, e^{-1}[\cup]e^{-1},+\infty[ $$

Exercice 3

Déterminer l’ensemble de définition des fonctions à une variable suivantes:

$$ f(x) = \frac{e^x}{x^2 + 2x + 1} \qquad
g(x) = e^{\sqrt{x}} \qquad
h(x) = x + \ln(x)$$

Rappel des règles:

  • Ce qui est sous une division ne doit pas être nul
    $$ \dfrac{1}{\cdot} \quad \Longleftrightarrow \quad \cdot \neq 0 $$
  • Ce qui est dans une racine doit être positif ou nul
    $$ \sqrt{\cdot} \quad \Longleftrightarrow \quad \cdot \geq 0 $$
  • Ce qui est dans un logarithme doit être strictement positif
    $$ \ln{\cdot} \quad \Longleftrightarrow \quad \cdot > 0 $$

 

  • Première fonction

On cherche l’ensemble de définition de
$$ f(x) = \dfrac{e^x}{x^2 + 2x + 1} $$

On a ici une division. D’après la règle sur les divisions,
$$ x^2 + 2x + 1 \neq 0 $$

On cherche donc les racines du polynôme du second degré pour savoir où il s’annule.
On calcul le discriminant avec $a= 1$, $b=2$, $c=1$
$$ \Delta = b^2 – 4ac = 4 – 4\times 1 \times 1 = 0 $$

On a donc une racine double,
$$ x_{1,2} = \dfrac{-b}{2a} = -1 $$

Par conséquent $x = -1$ est valeur interdite pour $f$, on en déduit que
$$ D_f = ]-\infty, -1 [\cup]-1, +\infty[ $$

 

  • Deuxième fonction

On cherche l’ensemble de définition de
$$ g(x) = e^{\sqrt{x}} $$

On a ici une racine. D’après la règle sur les racines,
$$ x \geq 0 $$

On en déduit que
$$ D_g = [0, +\infty[ $$

 

  • Troisième fonction

On cherche l’ensemble de définition de
$$ h(x) = x + \ln(x) $$

On a ici un logarithme. D’après la règle sur les logarithmes,
$$ x > 0 $$

On en déduit que
$$ D_h = ]0,+\infty[ $$

Exercice 4

Déterminer l’ensemble de définition des fonctions à une variable suivantes:

$$ f(x) = \sqrt{\frac{e^x -1 }{e^x +1}} \qquad
g(x) = \sqrt{\frac{\ln(x)-1}{\ln(x) +1}}$$

  • Première fonction

On cherche l’ensemble de définition de
$$ f(x) = \sqrt{\dfrac{e^x – 1}{e^x + 1}}$$

On ici une racine et une division. D’après la règle sur les divisions,
$$ e^x + 1 \neq 0 $$

Or on sait d’après le cours que
$$ e^x > 0 $$

Et donc que
$$ e^x + 1 > 0 $$

Ensuite d’après la règle sur les racines,
$$ \dfrac{e^x – 1}{e^x + 1} \geq 0 $$

On a vu que
$$ e^x + 1 > 0 $$

Donc le signe de la fraction ne dépend que du numérateur.
On étudie le signe de $e^x – 1$,
$$ e^x – 1 \geq 0 \quad \Longleftrightarrow \quad e^x \geq 1 \quad \Longleftrightarrow \quad x \geq \ln(1) = 0$$

Ce qui donne le tableau de signe

On garde l’intervalle où la fraction est positive ou nulle

$$ D_f = [0,+\infty[$$

 

  • Deuxième fonction

On cherche l’ensemble de définition de
$$ g(x) = \sqrt{\dfrac{\ln(x) – 1}{\ln(x) + 1}} $$

Ensuite d’après la règle sur les racines,
$$ \dfrac{\ln(x) – 1}{\ln(x) + 1} \geq 0 $$

On étudie le signe du numérateur et du dénominateur
$$ \ln(x) – 1 > 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \ln(x) > 1 \quad \Longleftrightarrow \quad x > e^1 $$
$$ \ln(x) + 1 > 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \ln(x) > -1 \quad \Longleftrightarrow \quad x > e^{-1} $$

On en déduit le tableau de signe

On garde les intervalles où la fraction est positive ou nulle, ce qui donne

$$ D_g = ]0, e^{-1}[\cup[e, +\infty $$

Exercice 5

Déterminer l’ensemble de définition des fonctions à une variable suivantes:

$$ f(x) = \ln(\ln(x)) \qquad
g(x) = \sqrt{\ln(x)} \qquad h(x) = \frac{1}{\ln(x)}$$

Rappel des règles:

  • Ce qui est sous une division ne doit pas être nul
    $$ \dfrac{1}{\cdot} \quad \Longleftrightarrow \quad \cdot \neq 0 $$
  • Ce qui est dans une racine doit être positif ou nul
    $$ \sqrt{\cdot} \quad \Longleftrightarrow \quad \cdot \geq 0 $$
  • Ce qui est dans un logarithme doit être strictement positif
    $$ \ln{\cdot} \quad \Longleftrightarrow \quad \cdot > 0 $$

 

  • Première fonction

On cherche l’ensemble de définition de
$$ f(x) = \ln(\ln(x)) $$

On a ici deux logarithmes. La règle sur les logarithmes appliquée à $\ln(x)$ nous donne une première condition
$$ \textbf{(condition 1)} \quad x > 0 $$

La règle sur les logarithmes appliquée à $\ln(\ln(x))$, nous donne une deuxième condition
$$ \textbf{(condition 2)} \quad \ln(x) > 0 $$

On résout l’inéquation pour trouver une condition sur $x$,
$$ \ln(x) > 0 \quad \Longleftrightarrow \quad x > e^0 \quad \Longleftrightarrow \quad x > 1 $$

En combinant les deux conditions on en déduit que
$$ D_f = ]1, +\infty[ $$

 

  • Deuxième fonction

On cherche l’ensemble de définition de
$$ g(x) = \sqrt{\ln(x)} $$

On a ici un logarithme et une racine. La règle sur les logarithmes nous donne une première condition
$$ \textbf{(condition 1)} \quad x > 0 $$

D’après la règle sur les racines
$$ \ln(x) \geq 0 $$

On résout l’inéquation pour trouver une condition sur $x$,
$$ \ln(x) \geq 0 \quad \Longleftrightarrow \quad x \geq e^0 \quad \Longleftrightarrow \quad x \geq 1 $$

Ce qui nous donne une deuxième condition sur $x$,
$$ \textbf{(condition 2)} \quad x > 1 $$

En combinant les deux conditions on en déduit que
$$ D_g = ]1, +\infty[ $$

 

  • Troisième fonction

On cherche l’ensemble de définition de
$$ h(x) = \dfrac{1}{\ln(x)} $$

On a ici un logarithme et une division. La règle sur les logarithmes nous donne une première condition
$$ \textbf{(condition 1)} \quad x > 0 $$

Et d’après le règle sur les divisions,
$$ \ln(x) \neq 0 $$

On résout l’équation pour trouver une condition sur $x$,
$$ \ln(x) \neq 0 \quad \Longleftrightarrow \quad x \neq e^0 \quad \Longleftrightarrow \quad x \neq 1 $$

On trouve donc une deuxième condition sur $x$,
$$ \textbf{(condition 2)} \quad x \neq 1 $$

En combinant les deux conditions on en déduit que
$$ D_h = ]0,1[\cup]1 +\infty[ $$