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Elasticité d’une fonction

Exercice 1

Calculer l’élasticité des fonctions suivantes:

$$ f(x) = x ^2 \qquad g(x) = 4\sqrt{x} $$

On rappelle la formule de l’élasticité pour une fonction $f$:

$$ E_{x,f} = x \dfrac{f'(x)}{f(x)} $$

 

  • Première fonction

On calcule la dérivée de $f$:

$$ f'(x) = 2x $$

On remplace dans la formule ce qui donne:

$$ E_{x,f} = x \dfrac{2x}{x^2} = \dfrac{2x^2}{x^2} = 2 $$

 

  • Deuxième fonction

On calcule la dérivée de $g$

$$ g'(x) = \dfrac{4}{2\sqrt{x}} = \dfrac{2}{\sqrt{x}} $$

On remplace dans la formule ce qui donne

$$ E_{x,g} = x \dfrac{\frac{2}{\sqrt{x}}}{4 \sqrt{x}} = x \dfrac{2}{4 \sqrt{x}^2} = \dfrac{x}{2x} = \dfrac{1}{2} $$

Exercice 2

Calculer l’élasticité des fonctions suivantes:

$$ f(x) = \frac{5}{x} \qquad
g(x) = 6x^{\frac{1}{4}}$$

On rappelle la formule de l’élasticité pour une fonction $f$:

$$ E_{x,f} = x \dfrac{f'(x)}{f(x)} $$

 

  • Première fonction

On calcule la dérivée de $f$

$$ f'(x) = – \dfrac{5}{x^2} $$

On remplace dans la formule ce qui donne:

$$ E_{x,f} = x \dfrac{-\frac{5}{x^2}}{\frac{5}{x}} = x \dfrac{-5}{x^2}\dfrac{x}{5} = \dfrac{-5x^2}{5x^2} = -1 $$

 

  • Deuxième fonction

On calcule la dérivée de $g$

$$ g'(x) = \dfrac{6}{4} x^{-\frac{3}{4}} $$

On remplace dans la formule ce qui donne:

$$ E_{x,g} = x \dfrac{\frac{6}{4}x^{-\frac{3}{4}}}{6x^{\frac{1}{4}}} = \dfrac{6}{6 \cdot 4} \dfrac{x}{x^{\frac{1}{4}}} \dfrac{1}{x^{\frac{3}{4}}} = \dfrac{1}{4} \dfrac{x}{x^{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}}} = \dfrac{1}{4} \dfrac{x}{x} = \dfrac{1}{4} $$

Exercice 3

Calculer l’élasticité des fonctions suivantes:

$$ f(x) = (x+8)e^{-\frac{1}{2}x} \qquad
g(x) = \alpha x^{\beta}$$

On rappelle la formule de l’élasticité pour une fonction $f$:

$$ E_{x,f} = x \dfrac{f'(x)}{f(x)} $$

 

  • Première fonction

On calcule la dérivée de la fonction en utilisant la formule du produit:

$$ f'(x) = e^{-\frac{1}{2}x} – \frac{1}{2}(x+8)e^{-\frac{1}{2}x} $$

On remplace dans la formule ce qui donne:

$$ E_{x,f} = x \dfrac{e^{-\frac{1}{2}x} – \frac{1}{2}(x+8)e^{-\frac{1}{2}x}}{(x+8)e^{-\frac{1}{2}x}} $$

On factorise en haut:

$$ E_{x,f} = x \dfrac{e^{-\frac{1}{2}x}(1 – \frac{1}{2}(x+8)}{(x+8)e^{-\frac{1}{2}x}} $$

Puis on simplifie les exponentielles:

$$ E_{x,f} = x \dfrac{(1 – \frac{1}{2}(x+8)}{(x+8)} = \dfrac{x}{(x+8)} \big(1 – \dfrac{(x+8)}{2} \big) $$

 

  • Deuxième fonction

On calcule la dérivée en utilisant la formule pour les puissances:

$$ g'(x) = \alpha \beta x^{\beta -1} $$

On remplace dans la formule ce qui donne:

$$ E_{x,g} = x \dfrac{\alpha \beta x^{\beta -1}}{\alpha x^{\beta}} = \dfrac{\alpha \beta}{\alpha} \dfrac{x x^{\beta – 1}}{x^{\beta}} = \beta \dfrac{x^{\beta}}{x^{\beta}}= \beta $$