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Limites de fonctions

Exercice 1

Calculer les limites suivantes:

$$ \lim_{x \rightarrow 0} e^x \qquad \lim_{x \rightarrow 1} 5x^5 – 3x^3 + x – 10  $$

  • Première limite

$$ \lim_{x \rightarrow 0} e^x = e^0 = 1 $$

 

  • Deuxième limite

$$ \lim_{x \rightarrow 1} 5x^5 – 3x^3 +x -10 = 5\cdot(1)^5 – 3\cdot (1)^3 + 1 -10 = 5 -3 +1 -10 = -7 $$

Exercice 2

Calculer les limites suivantes:

$$\lim_{x \rightarrow 4} \frac{-1}{x – 10} \qquad \lim_{x \rightarrow 0} \sqrt{\frac{x^2 + 2x – 3}{x^4 – 1}}$$

  • Première limite

$$ \lim_{x \rightarrow 4} \dfrac{-1}{x-10} = \dfrac{-1}{4-10} = \dfrac{-1}{-6} = \dfrac{1}{6} $$

 

  • Deuxième limite

$$ \lim_{x \rightarrow 0} \sqrt{\dfrac{x^2 + 2x -3}{x^4 – 1}} = \sqrt{\dfrac{0^2 + 2\cdot 0 -3}{0^4 – 1}} = \sqrt{\dfrac{-3}{-1}} = \sqrt{3} $$

Exercice 3

Calculer les limites suivantes:

$$ \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{3x}{4x – 7} \qquad \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{x – 8}{\sqrt{x}}  $$

  • Première limite

$$ \lim_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{3x}{4x – 7} = \lim_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{3x}{x(4 – \frac{7}{x})} = \lim_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{3}{4 – \frac{7}{x}} = \dfrac{3}{4} $$

 

  • Deuxième limite

$$ \lim_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{x – 8}{\sqrt{x}} = \lim_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{x}{\sqrt{x}} – \dfrac{8}{\sqrt{x}}
= \lim_{x \rightarrow +\infty} \sqrt{x} – \dfrac{8}{\sqrt{x}} = +\infty $$

Exercice 4

Calculer les limites suivantes:

$$ \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{\sqrt{x} + 2 – 3x}{x} \qquad \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{-5x^2 + 2x – 3}{x^2 + 8x – 1} $$

  • Première limite

$$ \lim_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{\sqrt{x} +2 – 3x}{x} = \lim_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{\sqrt{x}}{x} +\dfrac{2}{x} -\dfrac{3x}{x}
= \lim_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{1}{\sqrt{x}} +\dfrac{2}{x} – 3 = – 3 $$

 

  • Deuxième limite

$$ \lim_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{-5x^2 + 2x – 3}{x^2 + 8x – 1}
= \lim_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{x^2(-5 + \frac{2}{x} – \frac{3}{x^2})}{x^2( 1 + \frac{8}{x} – \frac{1}{x^2})}
= \lim_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{-5 + \frac{2}{x} – \frac{3}{x^2}}{ 1 + \frac{8}{x} – \frac{1}{x^2}}
= – 5
$$

Exercice 5

Calculer la limite suivante:

$$ \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{\ln(1 + e^{2x})}{x} \qquad \lim_{x \rightarrow +\infty} \sqrt{x^2 + x – 6} – x $$

  • Première limite

$$ \lim_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{\ln(1 + e^{2x})}{x} $$

On commence par lever l’indétermination:

$$ \begin{align*} \dfrac{\ln(1 + e^{2x})}{x} = \dfrac{\ln\big(e^{2x}(1 + e^{-2x})\big)}{x} = \dfrac{\ln(e^{2x}) + \ln(1 + e^{-2x})}{x}&  = \dfrac{\ln(e^{2x})}{x} + \dfrac{\ln(1 + e^{-2x})}{x} \\ & = \dfrac{2x}{x} + \dfrac{\ln(1 + e^{-2x})}{x} \\&  = 2 + \dfrac{\ln(1 + e^{-2x})}{x} \end{align*}$$

$$ \lim_{x \rightarrow +\infty} 2 + \dfrac{\ln(1 + e^{-2x})}{x} = 2 $$

Car

$$ \lim_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{\ln(1 + e^{-2x})}{x} = 0\times 0 = 0 $$

 

  • Deuxième limite

$$ \lim_{x \rightarrow +\infty} \sqrt{x^2 + x – 6} -x $$

On utilise l’astuce du conjugué:

$$ \begin{align*} \sqrt{x^2 + x – 6} -x \cdot \dfrac{\sqrt{x^2 + x – 6} +x}{\sqrt{x^2 + x – 6} +x} & = \dfrac{(\sqrt{x^2 + x – 6} -x)(\sqrt{x^2 + x – 6} +x)}{\sqrt{x^2 + x – 6} +x} \\[0.3cm]& = \dfrac{\sqrt{x^2 + x – 6}^2 – x^2}{\sqrt{x^2 + x – 6} +x} \\[0.3cm] & = \dfrac{x^2 + x – 6 – x^2}{\sqrt{x^2 + x – 6} +x} \\[0.3cm] & = \dfrac{ x – 6 }{\sqrt{x^2 + x – 6} +x} \end{align*} $$

Puis la factorisation

$$ = \dfrac{ x – 6 }{\sqrt{x^2(1 + \frac{1}{x} – \frac{6}{x^2})} +x} = \dfrac{ x – 6 }{x\sqrt{1 + \frac{1}{x} – \frac{6}{x^2}} +x} = \dfrac{ x(1 – \frac{6}{x}) }{x(\sqrt{1 + \frac{1}{x} – \frac{6}{x^2}} + 1)} = \dfrac{ 1 – \frac{6}{x} }{\sqrt{1 + \frac{1}{x} – \frac{6}{x^2}} + 1} $$

Or

$$ \lim_{x \rightarrow +\infty} \sqrt{1 + \frac{1}{x} – \frac{6}{x^2}} + 1 = 1 + 1 = 2$$

$$ \lim_{x \rightarrow +\infty} 1 – \frac{6}{x} = 1 $$

Finalement

$$ \lim_{x \rightarrow +\infty} \sqrt{x^2 + x – 6} -x = \dfrac{1}{2}$$