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Monotonie d’une fonction

Fonctions d’une variable

Exercice 1

Déterminer la monotonie et le(s) extrêmas des fonctions suivantes:

$$ f(x) = x ^2 \qquad f(x) = x^3  \qquad f(x) = \sqrt{x} $$

On rappelle que:

$$ f \text{ est croissante} \quad \text{ quand } f'(x) \geq 0 $$
$$ f \text{ est décroissante} \quad \text{ quand } f'(x) \leq 0 $$

 

  • Première fonction

On commence par déterminer l’ensemble de définition de la fonction:

$$ D_f = ]- \infty, +\infty[ $$

On calcule ensuite sa dérivée:

$$ f(x) = x^2 \longrightarrow f'(x) = 2x $$

Puis on étudie son signe:

$$ f'(x) = 2x \geq 0 \quad \Longleftrightarrow \quad x \geq 0 $$

On obtient alors le tableau de variations suivant

 

  • Deuxième fonction

On commence par déterminer l’ensemble de définition de la fonction:

$$ D_f = ]- \infty, +\infty[ $$

On calcule ensuite sa dérivée:

$$ f(x) = x^3 \longrightarrow f'(x) = 3x^2 $$

Puis on étudie son signe:

$$ f'(x) = 3x^2 \geq 0 \quad \text{ quelque soit } x \text{ car un carré est toujours positif}$$

On obtient alors le tableau de variations suivant\\

 

  • Troisième fonction

On commence par déterminer l’ensemble de définition de la fonction:

$$ D_f = [0, +\infty[ $$

On calcule ensuite la dérivée seconde:

$$ f(x) = \sqrt{x} \longrightarrow f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} $$

Puis on étudie son signe:

$$ f'(x) \geq 0 \quad \text{ car } x \geq 0 \quad \sqrt{x} \geq 0 $$

On obtient alors le tableau de variations suivant:

Attention: double barre en 0 dans le tableau de signe de la dérivée car il y a une division par 0

 

Exercice 2

Déterminer la monotonie et le(s) extrêmas des fonctions suivantes:

$$ f(x) = e^x \qquad f(x) = \ln(x) $$

On rappelle que:

$$ f \text{ est croissante} \quad \text{ quand } f'(x) \geq 0 $$
$$ f \text{ est décroissante} \quad \text{ quand } f'(x) \leq 0 $$

 

  • Première fonction

On commence par déterminer l’ensemble de définition de la fonction:

$$ D_f = ]- \infty, +\infty[ \quad \text{ d’après le cours sur la fonction exponentielle}$$

On calcule ensuite la dérivée:

$$ f(x) = e^x \longrightarrow f'(x) = e^x $$

Puis on étudie son signe:

$$ f(x) = e^x > 0 \quad \text{ d’après le cours} $$

On obtient alors le tableau de variations suivant:

 

  • Deuxième fonction

On commence par déterminer l’ensemble de définition de la fonction:

$$ D_f = ]0, +\infty[ \quad \text{ d’après le cours sur la fonction } \ln $$

On calcule ensuite la dérivée:

$$ f(x) = \ln(x) \longrightarrow f'(x) = \dfrac{1}{x}$$

Puis on étudie son signe:

$$ f'(x) = \dfrac{1}{x} \geq 0 \quad \text{car } x > 0 $$

On obtient alors le tableau de variations suivant:

Attention: division par 0 dans la dérivée, et 0 est une valeur interdite du ln

Exercice 3

Déterminer la monotonie des fonctions suivantes:

$$ f(x) = 3x ^2 + 7x -1  \qquad f(x) = x^3 + 3x^2 – 2  \qquad f(x) = x^3 – x – 8 $$

On rappelle que:

$$ f \text{ est croissante} \quad \text{ quand } f'(x) \geq 0 $$
$$ f \text{ est déceoissante} \quad \text{ quand } f'(x) \leq 0 $$

 

  • Première fonction

On commence par déterminer l’ensemble de définition de la fonction:

$$ D_f = ]- \infty, +\infty[ \quad \text{ car c’est un polynôme du second degré} $$

On calcule ensuite la dérivée:

$$ f(x) = 3x^2 + 7x – 1 \Longrightarrow f'(x) = 6x + 7 $$

Puis on étudie son signe:

$$ f'(x) = 6x + 7 \geq 0 \quad \Longleftrightarrow \quad 6x \geq -7 \quad \Longrightarrow \quad x \geq \dfrac{-7}{6} $$
$$ f'(x) = 6x + 7 \leq 0 \quad \Longleftrightarrow \quad 6x \leq -7 \quad \Longrightarrow \quad x \leq \dfrac{-7}{6} $$

On obtient le tableau de variations suivant:

 

  • Deuxième fonction

On commence par déterminer l’ensemble de définition de la fonction:

$$ D_f = ]- \infty, +\infty[ \quad \text{ car c’est un polynôme du troisième degré} $$

On calcule ensuite la dérivée:

$$ f(x) = x^3 + 3x^2 – 2 \longrightarrow f'(x) = 3x^2 + 6x $$

On calcule les racines pour étudier le signe:

$$ x_1 = 0 \qquad x_2 = -2 $$

On obtient ainsi le tableau de variations suivant:

 

  • Troisième fonction

On commence par déterminer l’ensemble de définition de la fonction:

$$ D_f = ]- \infty, +\infty[ \quad \text{ car c’est un polynôme du troisième degré} $$

On calcule ensuite la dérivée:

$$ f(x) = x^3 -x – 8 \longrightarrow f'(x) = 3x^2 – 1 $$

Pour étudier le signe on calcule les racines:

$$ x_1 = – \dfrac{\sqrt{3}}{3} = -\dfrac{1}{\sqrt{3}} \qquad x_2 = \dfrac{\sqrt{3}}{3} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} $$

On obtient ainsi le tableau de variations suivant:

Exercice 4

Déterminer la monotonie de la fonction suivante:

$$ f(x) = x ^2 e^x + 1  $$

On commence par déterminer l’ensemble de définition de la fonction:

$$ D_f = ]- \infty, +\infty[ $$

On calcule ensuite la dérivée:

$$ f(x) = x^2e^x + 1 \longrightarrow f'(x) = 2xe^x + x^2e^x $$

Pour étudier le signe on factorise:

$$ f'(x) = e^x (2x + x^2) $$

Comme
$$ e^x > 0 $$

Le signe dépend uniquement du polynôme:

$$ x^2 + 2x $$

On calcule les racines pour étudier le signe:

$$ x_1 = 0 \qquad x_2 = -2 $$

On obtient ainsi le tableau de variations suivant:

Exercice 5

Déterminer la monotonie des fonctions suivantes:

$$ f(x) = 3x + \dfrac{1}{x}$$

Cette vidéo arrive !

On commence par déterminer l’ensemble de définition de la fonction:

$$ D_f = ]- \infty, 0[\cup[0, +\infty] \quad \text{ car on ne peut diviser par } 0 $$

On calcule ensuite la dérivée:

$$ f(x) = 3x + \dfrac{1}{x} \longrightarrow f'(x) = 3 – \dfrac{1}{x^2} $$

On étudie alors son signe:

$$ f'(x) = 3 – \dfrac{1}{x^2} \geq 0 \quad \Longleftrightarrow \quad 3 \geq \dfrac{1}{x^2} \quad \Longleftrightarrow \quad 3x^2 \geq 1 \quad \Longleftrightarrow \quad 3x^2 – 1 \geq 0 $$

Ainsi le signe de la dérivée est le même que le polynôme
$$ 3x^2 – 1 $$

D’après l’exercice 3 on a les racines pour étudier le signe, on obtient le tableau de variations suivant

Attention aux doubles barres: 0 est valeur interdite pour la dérivée et pour la fonction elle même