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Calculs de primitives

Calcul de primitives, intégrales indéfinies

Exercice 1

Effectuer les calculs de primitives suivants:

$$ \int x^2\ dx \qquad \int e^x\ dx \qquad \int \frac{1}{x}\ dx \qquad \int \frac{1}{x^2}\ dx  $$

Ces primitives sont à connaître par coeur:

$$ \int x^2\ dx = \dfrac{x^3}{3} + C \qquad \int e^x\ dx = e^x + C $$
$$ \int \dfrac{1}{x}\ dx = \ln(x) + C \qquad \int \frac{1}{x^2}\ dx = -\frac{1}{x} + C $$

Exercice 2

Effectuer les calculs de primitives suivants:

$$ \int e^{10x}\ dx \qquad \int \frac{x^4}{2} + 3e^{2x}\ dx  \qquad \int 2^x\ dx  $$

On utilise la formule sur l’exponentielle:

$$ \int e^{nx}\ dx = \dfrac{e^{nx}}{n} $$

 

  • Première primitive

$$ \int e^{10x}\ dx = \frac{e^{10x}}{10} + C $$

 

  • Deuxième primitive

$$ \int \dfrac{x^4}{2} + 3 e^{2x}\ dx = \dfrac{1}{2} \int x^4\ dx + 3 \int e^{2x}\ dx = \dfrac{1}{2} \dfrac{x^5}{5} + 3 \dfrac{e^{2x}}{2} + C = \dfrac{x^5}{10} + 3 \dfrac{e^{2x}}{2} + C $$

 

  •  Troisième primitive

$$ \int 2^x\ dx = \int e^{\ln(2^x)}\ dx = \int e^{x\ln(2)}\ dx = \dfrac{1}{\ln(2)} e^{x\ln(2)} + C = \dfrac{1}{\ln(2)} 2^x + C $$

Exercice 3

Effectuer les calculs de primitives suivants:

$$ \int x + 1 + \frac{1}{x} \ dx \qquad \int x^2 + 2x + 5\ dx \qquad \int \frac{(x-1)(x-3)}{x}\ dx $$

  • Première primitive

$$ \int x + 1 \dfrac{1}{x}\ dx = \int x\ dx + \int 1\ dx + \int \dfrac{1}{x}\ dx = \dfrac{x^2}{2} + x + \ln(x) + C $$

 

  • Deuxième primitive

$$ \int x^2 + 2x + 5\ dx = \int x^2\ dx + 2\int x\ dx + 5\int 1\ dx = \dfrac{x^3}{3} + 2\dfrac{x^2}{2} + 5x + C = \dfrac{x^3}{3} + x^2 + 5x + C $$

 

  • Troisième primitive

$$ \begin{align}\int \dfrac{(x-1)(x-3)}{x}\ dx & = \int \dfrac{x^2 – 4x + 3}{x}\ dx \\& = \int \dfrac{x^2}{x} – 4\dfrac{x}{x} + \dfrac{3}{x}\ dx \\ & = \int x – 4 + \dfrac{3}{x}\ dx  \\  & = \int x\ dx – 4 \int 1\ dx + 3\int \dfrac{1}{x}\ dx \\ & = \dfrac{x^2}{2} – 4x + 3 \ln(x) + C \end{align}$$

Exercice 4

Effectuer les calculs de primitives suivants:

$$ \int \frac{e^x}{e^x + 1}\ dx \qquad \int \frac{6x + 7 }{3x^2 + 7x + 10}\ dx  $$

On utilise la formule sur le logarithme népérien:

$$ \int \dfrac{u'(x)}{u(x)}\ dx = \ln(u(x)) + C $$

 

  • Première primitive

On identifie $u$ et $u’$:

$$ u = e^x \qquad u’ = e^x  $$

On en déduit

$$ \int \dfrac{e^x}{e^x + 1}\ dx = \ln(e^x + 1) + C $$

 

  • Deuxième primitive

On identifie $u$ et $u’$:

$$ u = 3x^2 +7x + 10 \qquad  u’ = 6x + 7 $$

On en déduit

$$ \int \dfrac{6x + 7}{3x^2 + 7x +10}\ dx = \ln(3x^2 + 7x +10) + C $$

Exercice 5

Effectuer les calculs de primitives suivants:

$$ \int \sqrt{x}\ dx \qquad \int \frac{1}{\sqrt{x}}\ dx \qquad \int \sqrt[3]{x\sqrt{x}}\ dx$$

  • Première primitive

On applique la formule des puissances car:

$$ \sqrt{x} =  x^{\frac{1}{2}}$$

On en déduit

$$ \int \sqrt{x}\ dx = \int x^{\frac{1}{2}}\ dx = \dfrac{1}{\frac{1}{2} + 1} x^{\frac{1}{2} + 1} + C = \dfrac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C $$

 

  • Deuxième primitive

$$\int \dfrac{1}{\sqrt{x}}\ dx = 2\sqrt{x} + C $$

 

  • Troisième primitive

On commence par simplifier les racines en utilisant les règles sur les puissances:

$$ \sqrt[3]{x\sqrt{x}} = \big( x \cdot (x)^{\frac{1}{2}} \big)^{\frac{1}{3}} = x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}\frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{6}} = x^{\frac{2}{6} + \frac{1}{6}} = x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x} $$

Puis tout se fait comme pour le premier calcul:

$$ \int \sqrt[3]{\sqrt{x}}\ dx = \int \sqrt{x}\ dx = \dfrac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C $$